1.1 搬家1

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实验任务

小明的家具包含 \(n\) 个箱子，每个箱子有各自的重量。由于绳子长度有限，他每次只能把最多 \(k\)个箱子绑在一起形成一个新箱子，新箱子的重量为被绑的箱子重量之和。这样绑一次，小明耗费的体力值是被绑的箱子重量之和（即新箱子的重量）。并且新箱子还可以作为一个箱子参与后续的操作。

小明想经过若干次操作，最终把所有的箱子打包成一个箱子。那么他耗费的总体力值最小是多少？

例如，假设一开始有 3 个箱子，重量为 1、2、4，\(k=2\)。那么可以先把 24 绑在一起形成一个重量为 6 的箱子，再把它和重量为 1 的箱子绑在一起，耗费的总体力值是\((2+4)+(6+1)=13\)。也可以先绑 1 和 4 得到 5，再绑 2 和 5，耗费的总体力值是\((1+4)+(2+5)=12\)，后一种方案耗费的体力值更小，但这也不是最优的绑法。

数据输入

输入第一行为两个正整数 \(n\), \(k\)，含义如上。接下去 \(n\) 个正整数，表示最开始 \(n\) 个箱子的重量，以空格隔开。

数据输出

输出一行，表示最小总花费。

输入示例 输出示例
3 2
1 2 4		 10
5 3
1 1 1 1 1		 8

数据范围

最开始 \(n\) 个箱子的重量均在\([1, 1000]\)内；\(50\%\)的得分点，\(n\leq 3\)，\(k=2\)；其余 \(30\%\)的得分点，\(n\leq 100000\)，\(k=2\)；其余 \(20\%\)的得分点，\(n, k\leq 100000\)，\(k\geq 2\)。

源代码

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#include <stdio.h>
#include <queue>
using namespace std;
#define maxn 100005

int main(){
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int total = 0;
    priority_queue<int>pq;
    int boxi;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        scanf("%d", &boxi);
        pq.push(-boxi);
    }
    //添加节点，直到满足k叉哈夫曼树的定义
    while ((n - 1) % (k - 1)){
        pq.push(0);
        ++n;
    }
    while (pq.size()>1){
        int temp = 0;
        for (int i = 0; i < k; ++i){
            temp += pq.top();
            pq.pop();
        }
        total += temp;
        pq.push(temp);
    }
    printf("%d\n", -total);
    return 0;
}

设计思路与复杂度分析

\(k\)叉哈夫曼树需要满足的性质：保证每一个非页节点都有\(k\) 个子节点。

如何保证节点页节点数满足性质？考虑特殊情况：第一次\(k\)个叶子节点计算，其余的都是\((k-1)\)个叶子节点与刚才生成的分支节点计算。

反过来考虑：假设第一次也是\((k-1)\)个节点参与计算，这样相当于总数少了1，变成了\(n-1\)个节点每次\((k-1)\)的独立运算！所以当\((n-1)\%(k-1)=0\)时，刚好构造一棵\(k\)叉树。

对每一个箱子需要插入优先队列然后从优先队列取出(只是计算复杂度无需考虑生成的中间节点)，所以复杂度为：\(O(nlogn)\)。

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